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本文是从结构动力学（振动力学）出发做的笔记，相关参考为结构动力学资料。
-----想先区分一下谐振和波。谐振是考察一点的位移u随时间的变动，是一个一元函数，变量是t，参数是振幅、频率和初相。谐波是考察一个场中，任何一点在任何时间的位移随时间变动，所有点在某时刻的位移是一个二元函数，该值会随着时间变化，在时间域观察这个变化情况就是波动，参数是波幅（振幅）、频率、波长（或者波数、波数），变量是场位置x和时间t。
-----简谐信号用复指数表示。简谐波可以使用余弦、正弦函数或复数表示，不过使用复数形式(根据欧拉公式推导)表达、运算、求解更简洁。一个谐信号最重要的是振幅A和频率w，然后是初相位θ。根据欧拉公式A*cos(wt+θ)+i*A*sin(wt+θ)，复指数中同时含有余弦和正弦信号，但正弦和余弦同样都只含有振幅A、频率w、初相位θ这三种信息，所以可以看做是两个相同的信号（重复项）。实际上sin和cos之间只差了π/2的相位，所以不妨将其改为A*cos(wt+θ)+i*A*cos(wt+θ-π /2)，就得到两个一样的信号。所以我们既可以采用实部也可以采用虚部来表达我们的真实信号，但是运算的时候，用复指数表达式会更方便，用复指数计算时它会将两个信号（一般需要将信号加减或求导，根据欧拉公式，复指数实际表示一个以cos为实部以sin为虚部的复数，根据复数的加减法和求导法则得出，复指数的加减和求导都是实部和虚部的同时操作）同时处理的。
例如，对于一个（单自由度单位质量）亚粘滞阻尼系统，其自由振动的方程是一个二阶齐次线性常微分方程：
其通解可以用一个复指数谐波表示。将该复指数通解代入方程后，可以发现基于复指数的加减和微分运算会很方便，最终该问题变成一个特征值问题（本征值），求解会更方便，具体看曹树谦P6。但是在具体写出并讨论解的时候，我们可以取该复指数形式的实部或者虚部，例如曹树谦P6采用的虚部：
而曾攀P307采用的实部：
而Chopra P38采用实部虚部和的形式：
实际上，取实部和虚部都可以，例如王新敏P48这样说:
但有一点必须指出，取不同的表达式，其对应的系数是不同的。它们的系数由初始条件决定。
-----可以看出，复指数表示法的方便性在于同频信号加减和求导。如果表示成三角函数，那么多个信号的加减会很麻烦，表示成复指数后，所有同频信号的初相（不含t）被移动到前面和它们的振幅合在一起形成复振幅，该复振幅是各个信号的振幅和初相通过复数加减规则合起来的一个复常数，复数加减规则就比三角函数加减方便得多。复振幅包含了合成信号的实振幅和初相位，根据复平面的法则，合成信号实振幅|Fn|=[实部平方+虚部平方]再开方，合成信号初相位ψn=[虚部除以实部]再求反正切。除了信号的加减外，有的地方需要对信号求导，复指数的求导需要将频率和i提到前面，而这在复数里面表示振幅扩大并且初相位移动π/2，这在信号处理和通信中用比较多。另外，在利用傅里叶变换求系统的频响函数时，复指数表示法的方便性就很明显（曹树谦P7频响函数求法）。
-----在通信学科中，复指数表示两个信号，因为通信科学中初相位比较关键（陈爱军P40），笔者对通信了解不多，不再多言；在结构动力学中，更多关心结构的振幅，而初相位并不是所关心的，所以复指数表示一个信号，真正使用的时候取实部虚部皆可。
参考资料：
曹树谦《振动结构模态分析：理论、试验与应用》第二版，天津大学出版社。
曾攀《有限元分析及应用》，清华大学出版社，2004.
Anil.K.Chopra（谢礼立等译）《结构动力学：理论及其在地震工程中的应用》，第二版，高等教育出版社。
陈爱军《深入浅出通信原理》，清华大学出版社，2018.
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